Bonjour, j’ai un dm à faire sur les fonctions exponentielles,je vois comment expliquer,j’ai besoin d’aide et merci d’avance.

Bonjour,

La courbe représentative de la fonction exponentielle est la courbe

[tex]y=e^x[/tex]

Prenons un point quelconque sur cette courbe de coordonnées

[tex](x_0, e^{x_0})[/tex]

la tangente en ce point à la courbe représentative de la fonction exponentielle est

[tex]y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0)[/tex]

soit

[tex]y=e^{x_0}(1+x-x_0)[/tex]

Etudions la position de la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à cette tangente

posons

[tex]g(x)=e^x-y=e^x-e^{x_0}(1+x-x_0)[/tex]

g est définie, dérivable etc sur IR et

[tex]g'(x)=e^x-e^{x_0}[/tex]

du coup g est décroissante pour [tex]x\leq x_0[/tex] et croissante sinon

elle admet un mininum en [tex]x_0[/tex]

qui vaut

[tex]g(x_0)=0[/tex]

et cela est vrai pour tout [tex]x_0[/tex]

donc g(x) est toujours positif et la courbe représentative de la fonction exponentielle se situe au dessus de toutes ses tangentes.

Merci