Bonjour, pouvez vous m'aider pour cette exercice s'il vous plaît ? Merci

Réponse :

1) a) la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout n ∈ IN, un+1 = 2un + 5 n'est ni géométrique, ni arithmétique  -  Affirmation vraie

u0 = 1

u1 = 2u0 + 5 = 7

u2 = 2u1 + 5 = 19

u1/u0 = 7/1 = 7   ; u2/u1 = 19/7 ⇒ u1/u0 ≠ u2/u1  donc (un) n'est pas une suite géométrique

u1 - u0 = 7 - 1 = 6  ; u2 - u1 = 19 - 7 = 12  ⇒ u1 - u0 ≠ u2 - u1   donc la suite (un) n'est pas arithmétique

b)  la suite (vn) définie pour tout n ∈ IN par  vn = un + 5 est géométrique

  vn+1 = un+1 + 5

          = 2un + 5 + 5

          = 2un + 10

          = 2(un + 5)

          = 2vn

vn+1 = 2vn   donc (vn) est une suite géométrique   donc affirmation vraie

2) la suite (un) définie pour tout n ∈ IN par  un = - 1/(4n + 1) est une suite croissante

un+1 - un = - 1/(4(n+1) + 1)  - (- 1/(4n + 1)

                = - 1/(4n + 5) + 1/(4n+1)

                = (- (4n + 1) + (4 n + 5))/(4 n + 5)(4n + 1)

                 = (- 4 n - 1 + 4 n + 5)/(4 n + 5)(4n + 1)

                 = 4/(4n + 5)(4n + 1)    or n ≥ 0  donc  4n+1 > 0  et 4n+5 > 0

donc   un+1 - un > 0  ⇒ (un) est une suite croissante sur IN

donc affirmation vraie

   k = 63

3)   ∑ 2^k = 2⁶⁴ - 1

    k = 0

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + ....... + 2⁶³    est une somme de termes géométriques

  donc  S = 1 x (1 - 2⁶³⁺¹)/(1 - 2)  = - (1 - 2⁶⁴) = 2⁶⁴ - 1

donc  l'affirmation est vraie

Explications étape par étape :