Bonjour, je suis en 1ere et je n’arrive pas à faire cet exercice niveau spé maths. Si vous pouviez m’aider ce serait gentil merci !

Réponse :

affirmation vraie ou fausse  justifier

1) a) affirmation vraie ; Un+1 = 2Un + 5  n'est ni arithmétique ni géométrique

car une suite arithméque s'écrit  Un+1 = Un + r  et une suite géométrique s'écrit  Un+1 = qUn

b) affirmation vraie ; Vn = Un + 5 est géométrique  pour  n ∈ N

car,  Vn+1 = Un+1 + 5 = 2Un + 5 + 5 = 2Un + 10 = 2(Un + 5) = 2Vn

2) affirmation vraie ; pour n ∈ N ,  Un = - 1/(4 n + 1)

soit  Un = f(n)  où  f(x) = - 1/(4 x + 1)  définie sur [0 ; + ∞[

f est dérivable sur [0 ; + ∞[ et sa dérivée  f '(x) = 4/(4 x + 1)²  > 0 ⇒ f est croissante sur [0 ; + ∞[  par suite  (Un) est croissante sur N

    k = 63

3)   ∑ 2^k = 2⁶⁴ - 1

     i = 0  

affirmation vraie

car   S = 1 + 2 + 2² + ........ + 2⁶³

       2S = 2 + 2² + 2³ + ......... + 2⁶⁴

       2S - S = 2 + 2² + 2³ + ......... + 2⁶⁴ - (1 + 2 + 2² + ........ + 2⁶³) = 2⁶⁴ - 1

donc  S = 2⁶⁴ - 1

4) affirmation fausse

car en établissant le tableau de variation de f sur [- 3 ; 2]

     x    - 3                     - 2                        1                      2

   f(x)          croissante       décroissante        croissante

   f '(x)                +            0          -             0             +

en observant la courbe en pointillée  on constate qu'entre  [0 ; 1]  f '(x) est positive  alors que f est décroissante sur [- 2 ; 1]  

Explications étape par étape :