Bonjour je suis en première au lycée et je dois faire un dm de mathématique, mais cette année les maths sont vraiment très complique , j'ai essayé de le faire m

bonsoir

On dispose d’un crédit de 300000 euros pour atteindre dans un désert une nappe souterraine. Le cout du forage est fixé à 1000 euros pour le premier mètre creusé, 1200 pour le deuxième mètre, 1400 pour le troisième mètre et ainsi de suite en augmentant de 200 euros par mètre creusé.

On pose 1 = 1000, 2 = 1200,  désigne donc le coût en euros du ième mètre creusé.

1)  

a) Calculer 5.

u1 = 1000  u2 = 1200  u3 = 1400   u4 = 1600  u5 = 1800

soit u5 = 1000 + 4 x 200

      u5 = 1800

b) Exprimer +1 en fonction de .

  u(n+ 1) = un + 200

   Quelle est la nature de la suite () ?

   suite arithmétique de raison r = 200

   et de 1er terme u1 = 1000

   (on passe du 1er terme à son   concécutif en ajoutant  200)

c) Exprimer  en fonction de  pour tout entier naturel .

  son expression générale est :

  un = u1 +(n - 1)r

  un = 1000 + (n - 1) × 200

  un = 1000 + 200n - 200

  un = 200n + 800

d) Quel est le cout du forage du 15ième mètre. ?

    u15 = 200 × 15 + 800

    u15 = 3800

    coût d'un forage de 15m → 3800€

2)  Pour tout entier non nul n on désigne par  le coût total d’un puit de n mètres en euros.

a) Calculer le coût total pour forer un puit de 20 mètres.

   → formule de la somme : Sn = n(u1 + un)/2

   → S20 = 20(1000 + 200 x 20 + 800)/2

  →  S20 = 10 x 5800

  →  S20 = 58 000

  coût d'un forage de 20m → 58 000€

b) Montrer que le coût total d’un puit de n mètres est 

    = 1002 + 900

   Sn = n ( u1 + un)/2

   Sn = n( 1000 + 200n + 800)/2

   Sn = n( 1800 + 200n)/2

   Sn = n ( 900 + 100n)

  donc un puits de n mètres coûterait

   ⇒ Sn = 100n² + 900n

3)  Déterminer la profondeur maximale que l’on peut atteindre avec un crédit de 300000 euros.

soit Sn ≤ 300 000

⇒   100n² + 900n ≤ 300 000

⇒   100n² + 900n - 300 000 ≤ 0  (on divise le tout par 100)

⇒   n² + 9 - 3000 ≤ 0

Le polynôme est de la forme a × n² + b x n +c , 

avec  a = 1  ; b = 9  et c = -3000

le discriminant du polynôme est

Δ = (b² - 4ac)

Δ = 9² - 4 × 1 × -3000

Δ = 81 + 12 000

Δ = 12 081 > 0 donc l'équation n² + 9 - 3000 ≤ 0 admet 2 solutions

→ n1 = ( - 9 - √12081)/2  et n2 = ( - 9 + √12081)/2

→ n > 0 puisque c'est une valeur qui exprime des mètres de profondeur

→ n2 ≈ 50,45

avec un budjet de 300 000€ on pourra atteindre une profondeur d'environ 50m

bonne soirée