Quelqu’un peut-il s’il vous plaît m’aider dans ces questions, je ne sais pas comment les travailler :') ​

Bonjour,

Déjà il faudrait s'assurer que f est bien définie

la racine carré de x n'est définie que pour x positif

de ce fait, le domaine de définition de f est IR+

1.

pour x positif, non nulm nous pouvons écrire

[tex]f(x)=x\sqrt{x}^2\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)^2\\\\=x^2\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)^2[/tex]

le deuxième terme tend vers 1 quand x tend vers plus l'infini

et le premier terme tend vers plus l 'inifini quand x tend vers plus l'infini

Du coup

[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty[/tex]

2.

Soit x strictement positif, étudions

[tex]\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{x\left( \sqrt{x}-2\right)^2}{x}\\\\=\left( \sqrt{x}-2\right)^2[/tex]

ce rapport tend vers 4 quand x tend vers 0+, donc f est dérivable à droite de 0 et la courbe de f admet commen tangente en (0,0) la droite d'équation y=4x

3.

a)

pour x positif non nul, f est dérivable et

[tex]f'(x)=\left( \sqrt{x}-2\right)^2+x*2\left( \sqrt{x}-2\right)*\dfrac1{2\sqrt{x}}\\\\=\left( \sqrt{x}-2\right)^2+\sqrt{x}*\left( \sqrt{x}-2\right)\\\\=\left( \sqrt{x}-2\right)\left( \sqrt{x}-2+\sqrt{x}\right)\\\\=2\left( \sqrt{x}-2\right)\left( \sqrt{x}-1\right)[/tex]

b)

Un tableau de signes nous donne que

f'(x) est positif sur [0;1], f est croissante sur [0;1],

f'(x) est négatif sur [1;4], f est décroissante sur [1;4],

f'(x) est positif pour x plus grand que 4, f est croissante pour x plus grand que 4

f(0)=0

f(1)=1

f(4)=0

4. Il n'est pas difficile de montrer que

[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ f(x)}{x}=+\infty[/tex]

Nous avons une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées

5. c'est en pièce jointe