salut j'aurais besoin d'aide : 1) Soit la fonction f définie sur [0 ; 5) par: f(x) = (4x - 1) e-× a) Déterminer et factoriser f'(x) où f' est la fonction dérivé

Bonjour,

1) f(x) = (4x - 1) e-×

f est dérivable sur R donc sur [0;5] par produit

Si f(x) = u(x) * v(x) alors f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x) * v'(x)

Ici on pose u(x) = 4x - 1 et v(x) = e⁻ˣ

f'(x) = 4*e⁻ˣ + (4x - 1)* -e⁻ˣ

f'(x) = 4e⁻ˣ - (4x - 1)e⁻ˣ

f'(x) = e⁻ˣ * (4 - 4x + 1)

f'(x) = e⁻ˣ * (5 - 4x)

On résout f'(x) = 0

e⁻ˣ * (5 - 4x) = 0

Si A*B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Cependant la fonction exponentielle est > 0

Donc on résout juste 5 - 4x = 0 soit x = 5/4

Et  5 - 4x > 0 soit 5 > 4x soit 5/4 > x donc sur [ 0; 5/4] f'(x) positive sur cet intervalle et f est croissante dessus

De plus f'(x) est donc négative sur l'autre intervalle et f décroissante dessus

On calcule ensuite les bornes et le maximum:

f(0) = (4*0 - 1) e⁻⁰

f(0) = -1 * 1 = -1

f(5) = (4*5 - 1) * e⁻⁵

f(5) = 19e⁻⁵

f(5/4) = (4*5/4 - 1) e⁻⁵/⁴

f(5/4) = 3*e⁻⁵/⁴

Voir pièce jointe

2) Même chose que pour la 1

g est dérivable sur R donc sur [-5;3] par produit

g(x) = (x² – 5x + 7)e×

g'(x) = (2x - 5)eˣ + eˣ * (x² - 5x + 7)

g'(x) = eˣ * ( 2x - 5 + x² - 5x + 7)

g'(x) = eˣ * (x² - 3x + 2)

g'(x) = 0 soit

eˣ * (x² - 3x + 2) = 0 or eˣ > 0

donc on résout juste x² - 3x + 2= 0  qui est polynome de degré 2

delta = 1 donc 2 solutions qui sont x1 = 1 et x2 = 2 (je te laisse rédiger ça)

On en déduit que puisque g' est du signe de x² - 3x + 2 et que le coefficient devant le x² est 1 et que 1>0 alors:

g' est positive sur [-5;1[ puis négative sur ]1;2[ puis positive sur ]2;3[

( si tu ne comprends pas pourquoi voir schéma en pj)

donc g croissante sur [-5;1[ et ]2;3[ et négative sur lautre

On calcule la valeur des bornes et extremum:

g(-5) = ( 25 + 25 +  7) * e⁻⁵

g(-5) = 57e⁻⁵

g(1) = (1² - 5*1 + 7)*e

g(1) = 3e

g(2) = (2² - 5*2 + 7) * e²

g(2) = ( 4 - 10 + 7 ) *e²

g(2) = e²

g(3) = (3² - 5*3 + 7) * e³

g(3) = (9 - 15 + 7)e³

g(3) = e³

Voir photo

Bonne journée