Bonjour à toutes et à tous Alors voilà j'ai un DM à rendre pour la rentrée de Décembre voici mon exercice : Partie A: Racines n-ièmes de l'unité Soit n, n > 1.
Mathématiques
soso1911
Question
Bonjour à toutes et à tous
Alors voilà j'ai un DM à rendre pour la rentrée de Décembre voici mon exercice :
Partie A: Racines n-ièmes de l'unité
Soit n, n > 1. On considère l'équation (E) d'inconnue complexe z: zn=1
Les solutions de (E) sont appelées "racines n-ièmes de l'unité"
1. on pose = exp(i2k/n). Vérifier que est une solution de l'équation (E).
Ici pas de problème, on remplace z par et on tombe bien sur exp(2k)=1
2.Montrer que z est une solution de (E) |z|=1 et arg(z)=2k/n
C'est là que je bloques. Doit je passer par une démonstration du style Condition nécessaire/Condition suffisante ? Faut-il écrire z sous sa forme trigonométrique, puis algébrique ? Comment faire le "retour" (i.e., partir de zn=1 et arriver à |z|=1 et arg(z)=2k/n) ?
3.En déduire la forme exponentielle des solutions de l'équation (E)
Au vu des questions qui précède, je supposes que c'est: z = 1.exp(i.arg(z)) = exp(2k/n)
4.Quel est le nombre de solutions de l'équation (E) ?
Alors voilà j'ai un DM à rendre pour la rentrée de Décembre voici mon exercice :
Partie A: Racines n-ièmes de l'unité
Soit n, n > 1. On considère l'équation (E) d'inconnue complexe z: zn=1
Les solutions de (E) sont appelées "racines n-ièmes de l'unité"
1. on pose = exp(i2k/n). Vérifier que est une solution de l'équation (E).
Ici pas de problème, on remplace z par et on tombe bien sur exp(2k)=1
2.Montrer que z est une solution de (E) |z|=1 et arg(z)=2k/n
C'est là que je bloques. Doit je passer par une démonstration du style Condition nécessaire/Condition suffisante ? Faut-il écrire z sous sa forme trigonométrique, puis algébrique ? Comment faire le "retour" (i.e., partir de zn=1 et arriver à |z|=1 et arg(z)=2k/n) ?
3.En déduire la forme exponentielle des solutions de l'équation (E)
Au vu des questions qui précède, je supposes que c'est: z = 1.exp(i.arg(z)) = exp(2k/n)
4.Quel est le nombre de solutions de l'équation (E) ?
1 Réponse
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1. Réponse Misti123
z solution de (E) => [tex] z^{n} [/tex] = 1
=>([tex] re^{iO} [/tex][tex])^{n} [/tex] = 1 car tout nombre complexe z peut s'écrire sous la forme rei^O (avec O un angle) et r le module de ce nombre complexe
=> [tex] r^{n} [/tex][tex] ei^{On} [/tex]) = 1
Or 1 n'admet qu'un seul diviseur lui-même,donc on se retrouve obligatoirement dans le cas ou [tex] r^{n} [/tex] = 1 et [tex] e^{iOn} [/tex] = 1
r^n = 1 => r = 1 (ca c'est évident)
e^(iOn) = 1 => On = 0 + 2kpi => O=(2kpi/n)
On a bien ce que l'on recherche.