Bonjour, j’ai un dm de maths et j’aurais besoin d’aide pour démontrer que le cube dun nombre impair est impair

bonjour

un nombre impair s'écrit :    2N+1

un nombre impair   au cube vaut   (2N+1)³  =  (2N+1)  (2N+1)²  

Calculons le cube  :

(2N+1)³  =  (2N+1)  (2N+1)²  

            =   (2N+1)   (4N² + 2*2N*1 + 1² )

           =    ( 2N+1)  ( 4N² +4N +1)

           =     8N³ + 8N²+2N + 4N² +4N+1

            =    8N³  +12N² +6N + 1

            =   2 (4N³ + 6N² + 3N)   + 1  

2 (4N³ + 6N² + 3N)  est  divisible par  2 . C'est donc un nombre pair.

Les nombres pairs et impairs  sont alternés.  Si j'ajoute 1 à un nombre pair, j'obtiens un nombre impair.  
Comme  2 (4N³ + 6N² + 3N)  est  pair

alors  2 (4N³ + 6N² + 3N)   + 1  est  impair  

conclusion :  

Le cube d'un nombre impair est impair