Bonjour, voici ma question : f(x) = - 2(x-3)²+7 Il suffit de démontrer lorsque cette fonction est croissante et décroissante. Merci bien ! ​

Réponse :

[tex]-2(x-3)^2+7[/tex]
[tex]=-2(x^2-6x+9)+7[/tex]
[tex]=-2x^2+12x-18+7[/tex]
[tex]=-2x^2+12x-11[/tex]

Dérivons la fonction pour étudier la variation :

[tex]f'(x)=-4x+12[/tex]

Cherchons la racine de la derivée :

[tex]f'(x)=0[/tex]
[tex]-4x+12=0[/tex]
[tex]-4x=-12[/tex]
[tex]4x=12[/tex]
[tex]x=3[/tex]

On sait que :

[tex]f'(x) \text{ est une fonction affine avec b=12 donc au voisinage de gauche de x=3}\\\text{ la fonction est positive}[/tex]
[tex]f'(x) \text{ au voisinage de droite de x=3 la fonction est negative}[/tex]
Conclusion :
[tex]f \text{ est croissante sur } ]-\infty;3] \text{ et decroissante sur } [3;+\infty[[/tex]