Salut j'ai un exercice de maths mais j'y arrive pas quelqu'un peut m'aider s'il-vous-plaît. Déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection M des dro

Bonjour

Déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection M des droites d et d' tracées dans ce repère orthonormé.

Tu dois déterminer les équations des deux droites et pour trouver le point M d’intersection il suffit de dire que d = d’

d : on choisit 2 points de la droite :

A (0 ; 2) et B (3 ; 1)

on détermine le coefficient directeur :

a = (yB - yA)/(xB - xA)
a = (1 - 2)/(3 - 0)

a = -1/3

y = -x/3 + b

on remplace x et y par les coordonnées de  :

2 = -1/3 * 0 + b

b = 2

donc d a pour équation : y = -x/3 + 2

d’ : on fait pareil :

O (0 ; 0) et C (2 ; 1)

a’ = (yC - yO)/(xC - xO)

a’ = (1 - 0)/(2 - 0)

a’ = 1/2

y = x/2 + b

on voit que la droite passe par l’origine donc il n’y a pas de valeur pour b (b = 0)

y = x/2

pour trouver le point d’intersection M il suffit d’égaliser les 2 équations :

-x/3 + 2 = x/2

2 = x/2 + x/3

2 = 3x/6 + 2x/6

2 = 5x/6

5x/6 = 2

x = 12/5

x = 2,4

pour trouver y il te suffit de remplacer x par 2,4 dans l’une des deux équations :

y = -1/3 * 2,4 + 2 ou y = 1/2 * 2,4

y = -0,8 + 2 ou y = 1,2

y = 1,2 ou y = 1,2

coordoonees du point M :

(2,4 ; 1,2)

Bonjour,

Déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection M des droites d et d' .

Nous avons dans ce repère orthonormé deux droites d et d' qui sont les représentations graphiques de deux fonctions affines.

Pour rappel, une fonction affine peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b avec a ≠ 0

• Le coefficient a est appelé coefficient directeur et est obtenu en effectuant le calcul suivant :

[tex]a = \frac{y_b -y_a}{x_b - x_a} [/tex]

• Le coefficient b est appelé ordonnée à l'origine et correspond à l'ordonnée du point du point d'absisse 0 soit à l'image de 0 par la fonction donnée :

[tex]b = f(0)[/tex]

> Autre rappel : Les coordonnées d'un point sont écrits de la manière suivante :

(x ; y ) ou x, représente l'abscisse du point (lue sur l'axe horizontal) et y l'ordonnée du point (lue sur l'axe vertical)

1) a. Déterminons l'expression des deux fonctions affines .

• Commençons par la fonction représentée par la droite d.

On nous donne le point de coordonnées (3 ; 1), que l'on nommera B et le point de coordonnées (0 ; 2), que l'on nommera A.

▪️ Déterminons le coefficient directeur de la droite.

On applique le calcul énoncé précédemment :

[tex]a = \frac{ \orange{y_b} - \green{y_a}}{ \blue{x_b} - \red{x_a}} \\ \\A( \red{0} ; \green{2}) \: \: \: et \: \: B( \blue{3}; \orange{1})[/tex]

[tex]a = \frac{ \orange{1} - \green{2}}{ \blue{3} - \red{0}} = \boxed{\purple{ \frac{ - 1}{ \: \: \: 3} }}[/tex]

>> Nous pouvons placer le coefficient directeur de la droite d dans son expression : d(x) = (-1/3)x + b

▪️ Determinons l'ordonnée à l'origine de la droite.

Graphiquement, on voit que l'image de 0 par la droite d est 2. (Voir coordonnées du point que nous avons appelé A.

>> Nous avons donc l'équation de notre première droite : d(x) = (-1/3)x + 2 ✅

b.

▪️Effectuons le même travail avec la fonction représentée par la droite d'

On nous donne le point de coordonnées (2 ; 1) que l'on nommera B' et le point de coordonnées (0 ; 0) que l'on nommera A'.

On applique le calcul qui nous permet de déterminer le coefficient directeur de la droite :

[tex]a = \frac{ \orange{y_{b'}} - \green{y_{a'}}}{ \blue{x_{b'}} - \red{x_{a'}}} \\ \\A'( \red{2} ; \green{1}) \: \: \: et \: \: B'( \blue{0}; \orange{0})[/tex]

[tex]a = \frac{ \orange{0} - \green{1}}{ \blue{0} - \red{2}} = \frac{ - 1}{ - 2} = \boxed{ \purple{ \frac{1}{2} }}[/tex]

>> Nous pouvons placer le coefficient directeur de la droite d' dans son expression : d'(x) = (1/2)x + b

▪️ Déterminons l'ordonnée à l'origine de la droite.

Graphiquement, on voit que l'image de 0 par la droite d' est 0. (Voir coordonnées du point que nous avons appelé A')

>> Nous avons donc l'équation de notre première droite : d'(x) = (1/2)x + 0 ⇔ d'(x) = (1/2)x✅

2) Pour trouver l'abscisse du point d'intersection M, on résout l'équation d(x) = d'(x) :

[tex] \red{d(x)} = \green{d'(x)} \\ \\ \: \: \Longrightarrow \red{\frac{1}{2}x} = \green{- \frac{1}{3}x + 2} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longrightarrow \frac{1}{2}x - ( - \frac{1}{3}x) = 2 \\ \\ \Longrightarrow \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 2 \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longrightarrow \frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x = 2 \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longrightarrow \frac{5}{6}x = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

[tex]\Longrightarrow5x = 12 \\ \\ \Longrightarrow \boxed{\orange{x = 2.4}}[/tex]

L'abscisse du point d'intersection M est égale à 2,4 ; Ses coordonées s'écrivent de la façon suivante :

M(2,4 ; y)

3) Pour déterminer l'ordonnée du point M, on cherche l'image de son abscisse par l'une des deux fonctions données.

• Avec d(x) :

[tex]d(x) = - \frac{1}{3}x + 2 \\ \\ \Longrightarrow \: d(2.4) = - \frac{1}{3} \times 2.4 + 2 \\ \\ \Longrightarrow \: d(2.4) = - \frac{ 2.4}{3} + 2 \: \: \: \: \: \\ \\\Longrightarrow \: d'(2.4) = - \frac{2.4}{3} + \frac{6}{3} \ \: \: \\ \\\Longrightarrow d(2.4) = \frac{3.6}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

[tex]\green{\Longrightarrow } \boxed{\blue{d(2.4) = 1.2}} [/tex]

• Avec d'(x) :

[tex] \purple{d'(x) = \frac{1}{2}x }\\ \\ \Longrightarrow d'(2.4) = \frac{1}{2} \times 2.4 \\ \\ \Longrightarrow d'(2.4) = \frac{2.4}{2} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \blue{\Longrightarrow} \: \boxed{\green{d'(2.4) = 1.2}}[/tex]

>> Par conséquent, nous avons :

M(2,4 ; 1,2) ✅

Bonne journée