Soit f une fonction définie par f(x)=e-2/e-1 .1) Determiner le domaine de définition de f.2)Calculer la limite aux bornes du domaine de définition.3) Préc

Réponse :

bonjour je pense que tu veux dire f(x)=[(e^x)-2]/[(e^x)-1]

Explications étape par étape :

1) f(x)  est une fonction " quotient "; elle n'est donc pas définie pour la valeur de x qui annule le diviseur

e^x -1= 0 a pour solution x=0 (valeur interdite)

le domaine de définition Df=R*

2-3) limites et asymptotes

si x tend vers -oo, e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers -2/(-1)=2+

si x tend vers +oo, (-2) et (-1) sont des valeurs négligeables dont f(x) tend vers e^x/e^x=1-

Les droites d'équations y=2 et y=1  sont des asymptotes horizontales

si x tend vers 0 (avec x<0) f(x) tend vers (1-2)/[(1-)-1]=-1/(-epsilon)=+oo

si x tend vers 0 (avec x>0) f(x) tend vers -1/(+epsilon)=-oo

La droite d'équation x=0 est une asymptote verticale.

4)Dérivée : f(x) est une fonction "quotient" type u/v  sa dérivée est donc f'(x)=(u'v-v'u)/v² avec

u=e^x -2   u'=e^x  et v=e^x-1   v'=e^x

ce qui donne f'(x)=[(e^x)(e^x-1)-(e^x)( e^x-2)]/(e^x-1)²

on factorise (e^x)(e^x-1-e^x+2)/(e^x-1)²=e^x/(e^x-1)²

on note que f'(x) est toujours >0 sur le Df

5) je te joins le tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      -oo                                    0                                        +oo

f'(x)                      +                    II                     +                    

f(x)   2+           croît            +oo II -oo          croît                  1-

cela confirme que f(x)=0 a pour solution unique  x=ln2