Bonjour, j’espère que vous vous portez bien ! J’ai besoin d’aide pour cette exercice que je n’arrive pas à faire !

Réponse :

f(x) = 4eˣ/(eˣ + 1)   définie sur R

1) déterminer le sens de variations de f

f est une fonction quotient dérivable sur Df = R et sa dérivée f ' est :

f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = 4eˣ  ⇒ u'(x) = 4eˣ

v(x) = eˣ + 1  ⇒ v'(x) = eˣ

f '(x) = (4eˣ(eˣ + 1) - eˣ(4eˣ))/(eˣ + 1)²

       = (4e²ˣ + 4eˣ - 4e²ˣ)/(eˣ + 1)²

donc f '(x) = 4eˣ/(eˣ + 1)²

4eˣ > 0  et  (eˣ + 1)² > 0   donc   4eˣ/(eˣ + 1)²  > 0  ⇒ f '(x) > 0

⇒ la fonction f est croissante sur R

2) déterminer une équation de T

 y = f(0) + f '(0)(x - 0)

f(0) = 4e⁰/(e⁰ + 1) = 4/2 = 2

f '(0) =  4e⁰/(e⁰ + 1)² = 4/2² = 1

donc  y = 2 + x    (T)

3)  soit  d(x) = f(x) - (x - 2)

a) vérifier que  d'(x) = - (eˣ - 1)²/(eˣ + 1)²

d(x) = f(x) - (x - 2)  ⇒ d'(x) = f '(x) - 1 = 4eˣ/(eˣ + 1)² - 1

                                         = 4eˣ/(eˣ + 1)² - (eˣ + 1)²/(eˣ + 1)²

                                         = [4eˣ - (eˣ + 1)²]/(eˣ + 1)²

                                         = [4eˣ - (e²ˣ + 2eˣ + 1)]/(eˣ + 1)²

                                         = (4eˣ - e²ˣ - 2eˣ - 1)/ (eˣ + 1)²

                                         = (-e²ˣ + 2eˣ - 1)/(eˣ + 1)²

                                         = -(e²ˣ - 2eˣ + 1)/(eˣ + 1)²

donc  d'(x) = - (eˣ - 1)²/(eˣ + 1)²  

b) en déduire les variations de la fonction d

    d'(x) = - (eˣ - 1)²/(eˣ + 1)²    or  (eˣ - 1)² > 0  et - (eˣ - 1)² < 0  ; (eˣ + 1)² > 0

donc - (eˣ - 1)²/(eˣ + 1)² < 0  ⇒  d'(x) < 0  ⇒ la fonction d est décroissante sur R

Explications étape par étape :