bonjour pourriez-vous m'aider s'ils vous plaît. ​

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f ' (x) = (2x - 2) / (x² + 1)

■ on va décomposer f ' (x) = 2x/(x²+1) - 2/(x²+1):

  alors f(x) = Ln(x²+1) - 2 ArcTanx + Constante

■ recherche de la Constante :

   f(0) = Ln 1 - 2ArcTan0 + C = 0 -2Atan0 + C = -2Atan0 + C = 1

            donc C = 1 + 2Atan0 .

            On peut prendre C = 1 .

   f(1) = Ln2 - 2Atan1 + C = 2

            donc C = 2 - Ln2 + 2Atan1 .

   on devrait avoir 2 - Ln2 + 2Atan1 = 1 + 2Atan0

                                              1 - Ln2 = 2Atan0 - 2Atan1

                                       0,1534264 ≈ Atan0 - Atan1

                                       0,1534264 ≈ kπ - π/4 + k'π

                                             0,6137 ≈ 4kπ - π + 4k'π

                                             0,6137 ≈ (4k - 1 + 4k')π

                                             ce qui me semble impossible ! ☺

■ dérivée positive pour x > 1 .

■ tableau demandé :

   x --> -∞              0                1            2            +∞

f ' (x) ->          négative           0       positive

 f(x) --> +∞             1             0,12         0,4         +∞

  0,12 et 0,4 sont des valeurs arrondies ! ☺