bonjour pouvez-vous m’aider : Existe-t-il deux nombres entiers naturel consécutifs non nuls dont la différence des inverses est égale à 1 2070

bonjour

   soient n et n + 1 deux entiers naturels consécutifs  (n non nul)

leurs inverses sont :

                                  1/n  et  1/(n + 1)      

  ces deux nombres positifs :

                    puisque       n < n + 1     alors      1/n > 1/(n + 1)

           on forme la différence 1/n - 1/(n + 1) qui est positive

  On cherche un naturel n tel que

1/n - 1/(n + 1) = 1/2070     (1)       on résout cette équation

  (1)  <=>    (n + 1) / n(n + 1) - n / n(n + 1) = 1/2070

                        (n + 1) - n / n(n + 1) = 1/2070

                                1/n(n + 1) = 1/2070

                                  n(n + 1) = 2070

                                 n² + n - 2070 = 0

discriminant

 Δ = b² − 4ac = 1² - 4*1*(-2070) = 8281 = 91²

il y a deux solutions

n1 = (-1 - 91)/2 = -46       et       n2 = (-1 + 91)/2 = 45

le nombre cherché est un naturel, on élimine -46

Il reste 45

réponse : les naturels sont 45 et 46