Bonjour, J’aurais besoin d’aide pour ce dm de mathématiques, merci d’avance :) Sur la figure ci-contre, ABCD est un carré, et les triangles ABE et CBF sont des

Réponse :

Sur la figure ci-contre, ABCD est un carré, et les triangles ABE et CBF sont des triangles équilatéraux.

On se place dans un repère (A;B;D)

1. quelle est la nature du repère (A;B;D)? Expliquer la réponse.

le repère (A; B ; D) est un repère orthonormé  car  AB = AD  et  (AB) ⊥(AD)

2. déterminer la longueur exacte du segment [EH] dans le repère (A;B;D).

AEH triangle rectangle en H  ⇒ th.Pythagore  ⇒ AE² = EH²+AH²

⇒ EH² = AE² - AH² = 1 - (1/2)² = 1 - 1/4  = 3/4  ⇒ EH = √3)/2

On admet pour la suite que EH=FJ.

3. Dans le repère (A;B;D), donner les coordonnées des points D, E et F.

D(0 ; 1)  ;  E(1/2 ; √3/2)   et   F(1 + √3/2 ;  1/2)  = ((2+√3)/2 ; 1/2)

4. Les vecteurs DE et DF sont ils colinéaires ? Qu’en déduit-on concernant les points D, E, F?

vec(DE) = (1/2 ; (√3/2) - 1) = (1/2 ; (√3  - 2)/2)

vec(DF) = ((2+√3)/2 ; 1/2  - 1) = ((2+√3)/2 ; - 1/2)

det(vec(DE) ; vec(DF)) = xy' - x'y = 1/2)*(- 1/2) - (2+√3)/2 *(√3- 2)/2

                                                     = - 1/4 - 1/4((2+√3)(-2 +√3)

                                                     =  - 1/4 + 1/4((2+√3)(2 -√3)

                                                     = - 1/4 + 1/4(4 - 3)  

                                                     = 0

Donc les vecteurs DE et DF sont colinéaires  ⇒ les points D; E et F sont donc alignés

Explications étape par étape :