L’exercice en question svp :

Bonjour,

Moi, je vois aire en jaune = aire du triangle blanc :-)

Je précise donc les surfaces en pièce jointe.

On note AB = c ; AC = b et BC = a

Tout d'abord, on doit montrer que B appartient bien au cercle de diamètre [AC]

Soit O le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O.

O est à la fois le milieu de [AC] et de [BD] ABCD est donc un parallélogramme dont un coin est carré. Il s’agit donc d’un rectangle.

Ses diagonales sont donc de même longueur et se coupent en leur milieu, soit OA = OB = OC = OD

Les points A, B et C appartiennent donc tous au cercle de diamètre [AC]

On a donc A0 + A1 + A2 = ½ aire du cercle de diamètre [AC]

Soit A0 + A1 + A2 = ½ π (b/2)²

Ou encore A1 + A2 = ½ π (b/2)² - A0 (Egalité 1)

D'autre part A2 + B2 = ½ aire du cercle de diamètre [AB]

Soit B2 = ½ π (c/2)² - A2

Enfin A1 + B1 = ½ aire du cercle de diamètre [BC]

Soit B1 = ½ π (a/2)² - A1

On en déduit que B1 + B2 = ½ π (a/2)² - A1 + ½ π (c/2)² - A2

Soit B1 + B2 = ½ π (a/2)² + ½ π (c/2)² - ½ π (b/2)² + A0 d'après Egalité 1

ce qui équivaut B1 + B2 = 1/8 π (a² + c² - b²) + A0

D'un autre côté, le triangle ABC est rectangle en B. D'après le th. de Pythagore a² + c² = b²

Ce qui nous permet de conclure que B1 + B2 = A0