F(x)=1+lnx/x déterminer df les limites aux bornes les asymptotes éventuels montrer que f’(x)= -lnx/x2 J’ai besoin des réponses svp

Bonsoir,

f(x) = (1 + ln(x)) / x

Le domaine de définition de f est celui de la fonction ln soit

Df = ]0 ; +∞[

Pour 0< x <1 on a ln(x) < 0 soit 1 + ln(x) < 1

ou encore (1+ ln(x)) / x < 1/x

Or lim de 1/x quand x tend vers 0+ = -∞, d'où :

lim de f(x) quand x tend vers 0+ = -∞

l'axe des ordonnée est donc une asymptote en 0

Pour tout x > 1 on a 0 < ln(x) < √x d'où 0 < ln(x) / x < 1/√x

Or lim de 1/√x quand x tend vers +∞ = 0

On en déduit donc que lim en +∞ de f(x) = 1/x + ln(x) / x est = 0

L'axe des abscisses est donc une asymptote en +∞  

lim de f(x) quand x tend vers +∞ = 0

f(x) = 0 ⇔ ln(x) = -1 ⇔ x = 1/e ≈ 0,368

on a ln'(x) = 1/x

d'où

f'(x) = [1/x * x - (1+ ln(x) ] / x² = (1 - 1 - ln(x)) / x² = -ln(x) / x²

f'(x) = 0 ⇔ ln(x) = 0 ⇔ x = 1

f admet donc un maximum en 1

on a f(1) = 1 + ln(1) = 1