Bonsoir, je bloque sur cet exercice de mathématiques :/ On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 2/(x ^ 2 + 1) On note Cg la représentation graphique

Réponse :

Bonjour exercice sympa et classique.

Explications étape par étape :

1) Etude de la fonction g(x)=2/(x²+1)

a) Domaine de définition Df=R car le terme x²+1 est toujours>0 on peut aussi affirmer que g(x) est toujours >0.

b) Limites aux bornes du Df

si x tend vers +ou -oo g(x) tend vers 2/+oo soit 0+

On en déduit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale.

c) Parité :on note que g(-x)=g(x)  ; g(x) est donc paire et l'axe des ordonnées est un axe de symétrie.

d)Dérivée: g(x) est une fonction quotient  g'(x)=-2(2x)/(x²+1)²=-4x/(x²+1)²

e)Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x      -oo                                 0                                     +oo

g'(x)                      +                0                 -

g(x)  0+         croît                 2             décroît                0+

f) Courbe : elle a l'aspet d'un chapeau de gendarme  ou type courbe de Gauss.

2)L'équation de la tangente au point d'abscisse x=-1  est donnée par la formule : y=f'(-1)(x+1)+f(-1)

y=1(x+1)+1=x+2

y=x+2 La réponse donnée dans l'énoncé

3)On étudie le signe de g(x)-y

si c'est >0 la courbe est au dessus de la droite ; si c'est <0 la courbe est en dessous de la droite.

g(x)-y=2/(x²+1)-(x+2)=[2-(x+2)(x²+1)]/(x²+1)==(-x³-2x²+x)/(x²+1)

(x²+1) étant toujours>0 le signe de cette expression dépend uniquement du signe de E(x)=-x³-2x²-x soit de (-x)(x²+2x+1)=(-x)(x+1)²

tableau de signes de E(x)

x        -oo                         -1                      0                            +oo

(-x)                      +                        +           0            -

(x+1)²                 +             0          +                         +

E(x)                      +            0           +         0             -

La courbe Cg est donc:

a) au dessus de la droite pour x appartenant à ]-oo;-1[ U[-1; 0[  avec un point de tangence pour x=-1

b) en dessous de la droite pour x appartenant à]0; +oo[