bonjour s'il vous plaît j'ai besoin d'aide soit f la fonction définie par f(x) = x - ( racine de x ), demontrer que pour tout x appartenant à ]4; - l'infini [ f

Réponse :

bonjour, une petite correction ......x appartenant à ]4; +oo[ (erreur de frappe)

Explications étape par étape :

f(x)=x-Vx

cette fonction est définie sur [0; +oo[ mais pas dérivable en 0

pour démontrer que f(x) >Vx sur ]4;+oo[ on va étudier le signe de f(x) -Vx sur [0;+oo[

soit g(x) la fonction f(x)-Vx

g(x)=x-2Vx  même Df que la fontion f [; +oo[

Limites si x=0   g(x)=0

si x tend vers +oo  g(x)=(Vx)²-2Vx=(Vx)(Vx -2)

donc g(x) tend vers (+o)o*(+oo)=+oo

Dérivée g'(x)=1-1/Vx=(Vx-1)/Vx

on considère x>0 pour la dérivée  g'(x)=0 pour x=1

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x    0                          1                                     +oo

g'(x)II        -                0                    +

g(x) 0       décroît      -1             croît                   +oo

D'après le TVI on note qu'à partir d'une valeur alpha comprise entre 1 et +oo g(x)est>0 donc f(x)>Vx

g(x)=0 pour alpha=4  car x-2Vx=0 ou (Vx)(Vx-2)=0  pour x=0 et x=4

conclusion:si x>4,  f(x)>Vx